曲線分析與非線性函數(shù)的建立及應(yīng)用

本書主要介紹利用三個(gè)函數(shù)（完整二次函數(shù)、負(fù)高次冪函數(shù)、時(shí)間累計(jì)函數(shù)）求解現(xiàn)實(shí)曲線（數(shù)據(jù)）相應(yīng)函數(shù)的方法，即解決現(xiàn)實(shí)函數(shù)的建立問題。前三章分別討論三個(gè)函數(shù)的基本性質(zhì)，為函數(shù)求解及函數(shù)使用提供基礎(chǔ)性依據(jù)。后三章分別介紹現(xiàn)實(shí)中可能的三類函數(shù)，即理論函數(shù)、近似函數(shù)、經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的求解方法。每章均分別以充實(shí)的例子演示各類函數(shù)的具體求解過(guò)程，一方面以驗(yàn)證方法的可行、可靠和實(shí)用，另一方面，為讀者提供掌握各類求解方法的實(shí)際操作案例【只要讀者針對(duì)書中給出的案例，能夠逐一解出與本書一致的結(jié)果（或優(yōu)于本書結(jié)果），本書所述現(xiàn)實(shí)函數(shù)的建立方法就基本掌握了】。
本書適合希望通過(guò)建立函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)問題的各行各業(yè)從事科研、研發(fā)、統(tǒng)計(jì)、管理、技術(shù)工作的專業(yè)人士參考使用。

本書系統(tǒng)介紹理論函數(shù)、近似函數(shù)、經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的求解方法，針對(duì)各種具體應(yīng)用場(chǎng)景，用很多案例進(jìn)行實(shí)際演示。不僅如此，本書提供的每一個(gè)案例的求解結(jié)果均全部采用MATLAB應(yīng)用軟件或AUTOCAD應(yīng)用軟件進(jìn)行檢驗(yàn)或驗(yàn)證比較，偏差大小用Excel計(jì)算并明示。

在當(dāng)今數(shù)據(jù)時(shí)代和數(shù)字經(jīng)濟(jì)背景下，各行各業(yè)的發(fā)展和運(yùn)營(yíng)都離不開數(shù)據(jù)的指導(dǎo)和幫助。由數(shù)據(jù)指導(dǎo)至可視化【曲（直）線、曲（平）面、立體】指導(dǎo)再到變化規(guī)律（函數(shù)）的掌握是一種必然的發(fā)展方向。這是因?yàn)?，掌握函?shù)相當(dāng)于掌握了某種變化規(guī)律，掌握了變化規(guī)律就掌握了事物（過(guò)程）更為本質(zhì)的內(nèi)容，這對(duì)于問題的解決，無(wú)疑有更為深遠(yuǎn)的意義。掌握函數(shù)必將能夠?yàn)楝F(xiàn)實(shí)工作提供更準(zhǔn)確、更可靠、更多的幫助。數(shù)據(jù)→可視化→函數(shù)的轉(zhuǎn)變，不僅是現(xiàn)實(shí)工作的需要，也是技術(shù)進(jìn)步發(fā)展歷程的一種體現(xiàn)。進(jìn)一步講，函數(shù)建立不僅具有廣泛的現(xiàn)實(shí)需求，也是科技發(fā)展的需要。
目前，國(guó)內(nèi)外普遍采用數(shù)據(jù)關(guān)聯(lián)來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問題，這類應(yīng)用軟件及相關(guān)書籍不勝枚舉。在某些領(lǐng)域，在一定范圍內(nèi)，采用數(shù)據(jù)-可視化來(lái)解決現(xiàn)實(shí)問題。比如，被國(guó)內(nèi)外廣泛采用的數(shù)學(xué)軟件MATLAB、Mathematica、Maple等，以及在國(guó)外已經(jīng)采用多年、國(guó)內(nèi)近年來(lái)迅速發(fā)展、被廣泛應(yīng)用于工程領(lǐng)域的BIM。在數(shù)據(jù)-可視化-函數(shù)等系列解決方案中以數(shù)據(jù)為基礎(chǔ)、以可視化為重點(diǎn)是這些應(yīng)用（及其相關(guān)書籍）的基本特點(diǎn)，而在函數(shù)建立方面，功能比較單一，主要采用線性回歸擬合方法。本書提供了除線性回歸擬合（經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求解方法之一）之外的非線性回歸擬合方法、近似函數(shù)求解方法、理論函數(shù)求解方法。因此，本書內(nèi)容是數(shù)據(jù)-可視化-函數(shù)系列解決方案中函數(shù)解決方案的一種嘗試，是現(xiàn)有數(shù)據(jù)-可視化-函數(shù)系列解決方案的拓展和補(bǔ)充。
科研人員根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，建立近似函數(shù)或理論函數(shù)，從而掌握研究對(duì)象的變化規(guī)律；一般工程（工業(yè)、農(nóng)業(yè)、商業(yè)、服務(wù)業(yè)）研發(fā)或技術(shù)（管理）人員根據(jù)實(shí)踐統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立經(jīng)驗(yàn)函數(shù)或近似函數(shù)，從而更深程度地了解或掌握過(guò)程的變化情況，進(jìn)而為過(guò)程控制、預(yù)測(cè)與決策、優(yōu)化、經(jīng)濟(jì)分析等工作提供依據(jù)和服務(wù)；統(tǒng)計(jì)人員根據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，建立經(jīng)驗(yàn)函數(shù)或近似函數(shù)，為行業(yè)或部門（地區(qū)）的發(fā)展規(guī)劃、行政管理和日常管控等工作提供更有力的、更可靠的依據(jù)和幫助。
本書系統(tǒng)介紹理論函數(shù)、近似函數(shù)、經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的求解方法，針對(duì)多種應(yīng)用場(chǎng)景，用數(shù)十個(gè)案例進(jìn)行實(shí)際演示。不僅如此，本書提供的每一個(gè)案例的求解結(jié)果均采用MATLAB應(yīng)用軟件或AUTOCAD應(yīng)用軟件進(jìn)行檢驗(yàn)或驗(yàn)證比較，偏差大小用Excel計(jì)算并明示。換言之，每個(gè)案例的求解結(jié)果及偏差情況，讀者均可進(jìn)行實(shí)際驗(yàn)證。
任何方法的可行性、可靠性、有效性、實(shí)用性不能僅僅采用書面形式反映，更重要的是需要實(shí)踐的檢驗(yàn)。唯有通過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn)的方法才是真正意義上的有效方法。因此，希望更多讀者能在閱讀此書的同時(shí)結(jié)合實(shí)際工作進(jìn)行實(shí)際應(yīng)用，以考察本方法的效果、識(shí)別方法的缺陷和不足，從而為改進(jìn)和完善方法提供依據(jù)、積累經(jīng)驗(yàn)。
任何方法都不是完美的，每種方法都會(huì)存在利弊。通過(guò)函數(shù)途徑解決問題的基本思路是把問題當(dāng)成確定性問題去解決，這與現(xiàn)實(shí)中很多問題具有不確定性是不相符的，這一點(diǎn)是在建函數(shù)解決現(xiàn)實(shí)問題時(shí)容易存在的一個(gè)盲區(qū)，從某種意義上說(shuō)，是方法固有的一種缺陷。
本書所述的各類求解方法是基于一個(gè)假定——所有擬求數(shù)據(jù)是真實(shí)、可靠、準(zhǔn)確、完整的。全套方法只承諾保證對(duì)給定數(shù)據(jù)（曲線）的求解結(jié)果的真實(shí)客觀性和確定性數(shù)據(jù)演繹（比如給定曲線內(nèi)的插值推測(cè)）的準(zhǔn)確可靠性，不承諾對(duì)由數(shù)據(jù)失真、錯(cuò)誤、缺失以及求解之外的其他工作（比如不確定性數(shù)據(jù)推測(cè)）導(dǎo)致的其他問題負(fù)有任何責(zé)任，原始（給定）數(shù)據(jù)錯(cuò)誤導(dǎo)致的后果和不確定性數(shù)據(jù)演繹的風(fēng)險(xiǎn)由使用者自行承擔(dān)。
由于作者水平有限，書中難免存在不足之處，希望讀者批評(píng)指正。

著者
2022年8月

第1章完整二次函數(shù)1
1.1完整二次函數(shù)的基本介紹1
1.1.1完整二次函數(shù)的一般表達(dá)式1
1.1.2重要應(yīng)用結(jié)論及推論1
1.2完整二次函數(shù)的形式2
1.2.1完整二次函數(shù)的形式分類2
1.2.2完整二次函數(shù)的基本應(yīng)用形式3
1.2.3完整二次函數(shù)的形式轉(zhuǎn)化3
1.2.4兩個(gè)重要關(guān)系4
1.3完整二次函數(shù)的定義域、值域及相關(guān)問題4
1.3.1定義域4
1.3.2值域5
1.3.3其它顯函數(shù)定義域與值域5
1.3.4定義域與值域分析舉例6
1.3.5定義域與值域的組合及組合特點(diǎn)6
1.3.6無(wú)效完整二次函數(shù)的系數(shù)情況8
1.4完整二次函數(shù)的圖像9
1.4.1系數(shù)都不為零的完整二次函數(shù)圖像9
1.4.2B=0（或A=0）（其它系數(shù)均不為0）函數(shù)圖像15
1.4.3與圖像有關(guān)的主要結(jié)論16
1.5完整二次函數(shù)的單調(diào)性、周期性和奇偶性16
1.5.1單調(diào)性16
1.5.2周期性19
1.5.3奇偶性20
1.6完整二次函數(shù)的極限與連續(xù)20
1.6.1完整二次函數(shù)的極限20
1.6.2完整二次函數(shù)的連續(xù)21
1.7完整二次函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及相關(guān)問題21
1.7.1導(dǎo)數(shù)21
1.7.2微分23
1.7.3完整二次函數(shù)的極值問題24
1.7.4完整二次函數(shù)的凹凸與拐點(diǎn)問題24
1.8完整二次函數(shù)的積分24
1.8.1不定積分24
1.8.2定積分26

第2章負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)30
2.1負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的基本介紹30
2.1.1負(fù)高次冪函數(shù)表達(dá)式30
2.1.2通用函數(shù)表達(dá)式30
2.1.3負(fù)高次冪函數(shù)可以準(zhǔn)確表示數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系的命題及證明31
2.1.4通用函數(shù)可以表示任意非負(fù)函數(shù)的命題、推論及證明32
2.1.5負(fù)高次冪函數(shù)與泰勒函數(shù)的本質(zhì)差別37
2.2負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的定義域與值域38
2.2.1負(fù)高次冪函數(shù)的定義域與值域38
2.2.2通用函數(shù)的定義域與值域38
2.3負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的圖像38
2.3.1圖像的形成38
2.3.2變量對(duì)應(yīng)值、函數(shù)、圖像的關(guān)系39
2.4負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的單調(diào)性、周期性、奇偶性39
2.4.1單調(diào)性39
2.4.2周期性41
2.4.3奇偶性42
2.5負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的極限與連續(xù)43
2.5.1負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的極限43
2.5.2負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的連續(xù)44
2.6負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、微分及相關(guān)問題45
2.6.1導(dǎo)數(shù)45
2.6.2微分46
2.6.3負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的最大(最小)值問題46
2.6.4負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的凹凸與拐點(diǎn)問題47
2.7負(fù)高次冪函數(shù)及通用函數(shù)的積分49
2.7.1不定積分49
2.7.2定積分49

第3章時(shí)間累計(jì)函數(shù)及累計(jì)方法50
3.1時(shí)間累計(jì)函數(shù)的產(chǎn)生50
3.1.1引例50
3.1.2函數(shù)產(chǎn)生53
3.1.3累計(jì)的意義54
3.1.4函數(shù)中時(shí)間變量的廣義替換54
3.2時(shí)間累計(jì)函數(shù)的變量及常量56
3.2.1原始變量56
3.2.2表達(dá)式中的變量及常量定義57
3.3時(shí)間累計(jì)函數(shù)的常數(shù)確定58
3.3.1常數(shù)的主要類型58
3.3.2常數(shù)的選擇與確定59
3.4函數(shù)形式59
3.5函數(shù)圖像60
3.6函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與全導(dǎo)數(shù)62
3.6.1一階偏導(dǎo)數(shù)62
3.6.2二階偏導(dǎo)數(shù)62
3.6.3全導(dǎo)數(shù)62
3.7函數(shù)全微分63
3.8函數(shù)中的變量關(guān)系63
3.8.1變化指標(biāo)（x）與時(shí)間（y）的關(guān)系63
3.8.2原始變量（ξ）與累計(jì)值（z）的關(guān)系66
3.8.3原始變量（ξ）與時(shí)間（y）的關(guān)系66
3.8.4全微分求解變化指標(biāo)函數(shù)x=h（y）67
3.9二次累計(jì)69
3.9.1二次累計(jì)的定義69
3.9.2二次累計(jì)與一次累計(jì)的聯(lián)系70
3.9.3二次累計(jì)與一次累計(jì)的案例比較70
3.10多次累計(jì)77
3.10.1多次累計(jì)的定義77
3.10.2三次累計(jì)與二次累計(jì)的案例比較78
3.11采用累計(jì)方法建立函數(shù)的基礎(chǔ)條件和判定標(biāo)準(zhǔn)85
3.11.1基礎(chǔ)條件85
3.11.2判定標(biāo)準(zhǔn)85
3.12非隨機(jī)變量案例85
3.12.1案例基礎(chǔ)資料（虛擬案例）85
3.12.2案例問題討論86

第4章理論函數(shù)求解91
4.1變量對(duì)應(yīng)關(guān)系、函數(shù)、理論函數(shù)概念91
4.1.1變量對(duì)應(yīng)關(guān)系概念91
4.1.2函數(shù)概念91
4.1.3理論函數(shù)概念91
4.2對(duì)應(yīng)關(guān)系求解92
4.2.1用完整二次函數(shù)求解五組數(shù)據(jù)的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系92
4.2.2用負(fù)高次冪函數(shù)求解n組數(shù)據(jù)的變量對(duì)應(yīng)關(guān)系94
4.3理論函數(shù)求解96
4.3.1理論函數(shù)求解引例96
4.3.2給定數(shù)值對(duì)應(yīng)關(guān)系的理論函數(shù)求解98
4.3.3給定曲線的理論函數(shù)求解115

第5章近似函數(shù)求解1285.1概述128
5.1.1近似函數(shù)的基本概念128
5.1.2近似程度評(píng)價(jià)129
5.1.3近似函數(shù)求解的一般問題130
5.1.4近似函數(shù)求解的一般方法130
5.1.5近似函數(shù)求解需著重解決的問題130
5.1.6提高近似程度的途徑135
5.2給定函數(shù)的近似函數(shù)求解135
5.2.1利用完整二次函數(shù)求解給定函數(shù)的近似函數(shù)135
5.2.2利用負(fù)高次冪函數(shù)求解給定函數(shù)的近似函數(shù)136
5.2.3利用組合函數(shù)求解給定函數(shù)的近似函數(shù)137
5.3給定曲線的近似函數(shù)求解140
5.3.1用完整二次函數(shù)求解給定曲線的近似函數(shù)140
5.3.2用負(fù)高次冪函數(shù)求解給定曲線的近似函數(shù)144
5.3.3用通用函數(shù)求解給定曲線的近似函數(shù)145
5.3.4用多元素組合函數(shù)求解給定曲線的近似函數(shù)147
5.4給定變量對(duì)應(yīng)值的近似函數(shù)求解153
5.4.1簡(jiǎn)單光滑曲線的近似函數(shù)建立及求解154
5.4.2復(fù)雜光滑曲線的近似函數(shù)建立及求解158
5.4.3折線圖的近似函數(shù)建立及求解163

第6章經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求解169
6.1概述169
6.1.1經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的基本概念169
6.1.2可以（適合）建立經(jīng)驗(yàn)函數(shù)的情形169
6.1.3經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求解的一般問題170
6.1.4經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求解的一般方法170
6.2折線圖的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求解舉例173
6.3散布圖的經(jīng)驗(yàn)函數(shù)求解舉例179

參考文獻(xiàn)184